大家好，我是小跳，我来为大家解答以上问题。点积和叉积，点积很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、向量的点积： 假设向量u(ux, uy)和v(vx, vy)，u和v之间的夹角为α，从三角形的边角关系等式出发，可作出如下简单推导： |u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα ===> （ux - vx）2 + (uy - vy)2 = ux2 + uy2 +vx2+vy2- 2|u||v|cosα ===> -2uxvx - 2uyvy = -2|u||v|cosα ===> cosα = (uxvx + uyvy) / (|u||v|) 这样，就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。

2、 定义u和v的点积运算： u . v = (uxvx + uyvy)， 上面的cosα可简写成： cosα = u . v / (|u||v|) 当u . v = 0时（即uxvx + uyvy = 0），向量u和v垂直；当u . v > 0时，u和v之间的夹角为锐角；当u . v < 0时，u和v之间的夹角为钝角。

3、 可以将运算从2维推广到3维。

4、 向量的叉积： 假设存在向量u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz), 求同时垂直于向量u, v的向量w(wx, wy, wz). 因为w与u垂直，同时w与v垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即 uxwx + uywy + uzwz = 0; vxwx + vywy + vzwz = 0; 分别削去方程组的wy和wx变量的系数，得到如下两个等价方程式： (uxvy - uyvx)wx = (uyvz - uzvy)wz (uxvy - uyvx)wy = (uzvx - uxvz)wz 于是向量w的一般解形式为： w = (wx, wy, wz) = ((uyvz - uzvy)wz / (uxvy - uyvx), (uzvx - uxvz)wz / (uxvy - uyvx), wz) = (wz / (uxvy - uyvx) * (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)) 因为： ux(uyvz - uzvy) + uy(uzvx - uxvz) + uz(uxvy - uyvx) = uxuyvz - uxuzvy + uyuzvx - uyuxvz + uzuxvy - uzuyvx = (uxuyvz - uyuxvz) + (uyuzvx - uzuyvx) + (uzuxvy - uxuzvy) = 0 + 0 + 0 = 0 vx(uyvz - uzvy) + vy(uzvx - uxvz) + vz(uxvy - uyvx) = vxuyvz - vxuzvy + vyuzvx - vyuxvz + vzuxvy - vzuyvx = (vxuyvz - vzuyvx) + (vyuzvx - vxuzvy) + (vzuxvy - vyuxvz) = 0 + 0 + 0 = 0 由此可知，向量(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)是同时垂直于向量u和v的。

5、 为此，定义向量u = (ux, uy, uz)和向量 v = (vx, vy, vz)的叉积运算为：u x v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx) 上面计算的结果可简单概括为：向量u x v垂直于向量u和v。

6、 根据叉积的定义，沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为： i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k 同理可计算j x k: j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i 以及k x i: k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j 由叉积的定义，可知： v x u = (vyuz - vzuy, vzux - vxuz, vxuy - vyux) = - (u x v)。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。