大家好，我是小跳，我来为大家解答以上问题。幂级数的和函数在收敛圆内解析，幂级数的和函数很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、第四节 幂级数

2、教学重点：幂级数的敛散性

3、教学难点：收敛域的求法

4、教学时数：2

5、教学方法：讲练结合

6、一、 函数项级数的概念

7、定义1 函数列，

8、则称为函数项级数。

9、定义2 取，则成为常数项级数，

10、若收敛，则称为的收敛点；

11、若发散，则称为的发散点。

12、定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。

13、定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于的函数，称为和函数，记为S（x）。

14、定义5 若用表示的前n项的和，

15、则在收敛域上，有。

16、记，称为的余项，且在收敛域上有。

17、二、 幂级数

18、1．幂级数的有关概念

19、定义6 具有下列形式的函数项级数

20、（1）称为幂级数。

21、特别地，在中，令 ， 即上述形式化为

22、（2），称为的幂级数。

23、取 为常数项级数，如收敛，其和为

24、 为常数项级数，如收敛，其和为

25、 为和函数 ,,总收敛

26、对幂级数主要讨论两个问题：

27、（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。

28、幂级数的收敛域具有特别的结构

29、定理1：（i）如在 收敛，则对于满足的一切， 都绝对收敛；

30、 （ii）如在发散，则对于满足的一切， 发散。

31、证：（1）∵ 收敛

32、 ∴ （收敛数列必有界）

33、而

34、为几何级数，当即 收

35、∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛

36、 （2）反证：如存在一点 使 收

37、则由（1） 收，矛盾。

38、由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收敛；发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。

39、2．幂级数的收敛域及其求法

40、定理2：如幂级数系数满足 ，

41、则（1） ， ，收敛区间为（-R，R）；

42、 （2）， ，收敛区间为（－∞，＋∞）；

43、 （3） ， ，幂级数仅在一点x=0处收敛。

44、注意：当 时，的敛散性不能确定，要讨论的敛散性，

45、 从而求得收敛域。

46、例1：求下列幂级数的收敛域。

47、（1） （2） （3）

48、解：（1）， 故，

49、当时， 原级数为 为交错级数，满足

50、¬ ， ∴ 收敛；

51、当时， 原级数为 发散，

52、∴ 收敛域为

53、解（2）由于 ∴

54、故收敛域为。

55、解（3）

56、令 ∴ 。

57、当时，

58、原级数为

59、∴ 发散；

60、同理 时， 级数也发散 ，

61、∴收敛域

62、三、 幂级数的性质

63、定理3

64、定理

65、求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。