【边缘密度概率公式的推导】在概率论与数理统计中，联合概率密度函数和边缘概率密度函数是描述多维随机变量分布的重要工具。当我们关注多维随机变量中的某一维度时，就需要通过边缘密度概率公式来提取该维度的分布信息。以下是对边缘密度概率公式的推导过程进行总结，并以表格形式展示其关键内容。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 联合概率密度函数 | 设 $ (X, Y) $ 是二维连续型随机变量，则其联合概率密度函数为 $ f_{X,Y}(x,y) $，满足：$ P(a < X \leq b, c < Y \leq d) = \int_a^b \int_c^d f_{X,Y}(x,y) \, dy \, dx $ |
| 边缘概率密度函数 | 对于二维随机变量 $ (X, Y) $，其关于 $ X $ 的边缘概率密度函数为 $ f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy $，同理可得 $ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx $ |
二、推导过程
1. 定义联合分布函数
联合分布函数 $ F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y) $，它可以通过对联合概率密度函数积分得到：
$$
F_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f_{X,Y}(u,v) \, dv \, du
$$
2. 求边缘分布函数
若我们只关心 $ X $ 的分布，可以令 $ y \to +\infty $，即：
$$
F_X(x) = P(X \leq x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(u,v) \, dv \right] du
$$
3. 对边缘分布函数求导
为了得到边缘概率密度函数，对 $ F_X(x) $ 关于 $ x $ 求导：
$$
f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,v) \, dv
$$
4. 同理可得 $ f_Y(y) $
同样的方法可得关于 $ Y $ 的边缘密度函数：
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(u,y) \, du
$$
三、关键结论
| 内容 | 公式 |
| 联合概率密度函数 | $ f_{X,Y}(x,y) $ |
| 边缘概率密度函数（关于 $ X $） | $ f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy $ |
| 边缘概率密度函数（关于 $ Y $） | $ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx $ |
| 推导方式 | 从联合分布函数出发，通过积分和求导得到 |
四、应用示例
假设 $ (X, Y) $ 的联合概率密度函数为：
$$
f_{X,Y}(x,y) =
\begin{cases}
2e^{-x - 2y}, & x > 0, y > 0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
则：
- 关于 $ X $ 的边缘密度函数为：
$$
f_X(x) = \int_0^{+\infty} 2e^{-x - 2y} \, dy = 2e^{-x} \int_0^{+\infty} e^{-2y} \, dy = 2e^{-x} \cdot \frac{1}{2} = e^{-x}
$$
- 关于 $ Y $ 的边缘密度函数为：
$$
f_Y(y) = \int_0^{+\infty} 2e^{-x - 2y} \, dx = 2e^{-2y} \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = 2e^{-2y} \cdot 1 = 2e^{-2y}
$$
五、总结
边缘密度概率公式的推导基于对联合概率密度函数的积分操作，通过固定一个变量并对其余变量积分，从而提取出单一变量的概率分布信息。这一过程不仅适用于二维随机变量，也可推广至多维情形。理解这一推导有助于深入掌握多维随机变量的分布性质及其实际应用。