【二次函数公式】二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识之一。它在实际问题中有着广泛的应用，如抛物线运动、最大值最小值问题等。本文将对二次函数的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其相关概念和公式。
一、二次函数的定义
一般地，形如
$$
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$
的函数叫做二次函数，其中 $ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。
- a：决定抛物线的开口方向与宽窄；
- b：影响抛物线的对称轴位置；
- c：表示抛物线与 y 轴交点的纵坐标。
二、二次函数的相关公式总结
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 一般式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 最常见的表达方式 |
| 顶点式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | 顶点为 $ (h, k) $，便于求最大/最小值 |
| 根式（因式分解式） | $ y = a(x - x_1)(x - x_2) $ | 当已知两个实根时使用 |
| 判别式 | $ \Delta = b^2 - 4ac $ | 判断方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的情况 |
| 对称轴 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 抛物线的对称中心 |
| 顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $ | 抛物线的最高或最低点 |
| 韦达定理 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ $ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $ | 用于求根的关系 |
三、二次函数的图像特征
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，有最低点；
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，有最高点；
- 图像关于对称轴对称；
- 与 y 轴交点为 $ (0, c) $。
四、应用举例
1. 求最大利润：设利润函数为 $ P(x) = -2x^2 + 80x - 300 $，则最大利润发生在顶点处。
2. 求最短距离：在物理中，物体运动轨迹可用二次函数描述，如抛体运动。
3. 优化问题：如设计一个面积最大的矩形，常需用到二次函数模型。
五、小结
二次函数是数学中非常重要的函数类型，掌握其基本公式和图像特征对于解决实际问题具有重要意义。通过理解其不同形式（一般式、顶点式、因式分解式），可以更灵活地应对各种题目。
关键词：二次函数、顶点式、判别式、对称轴、韦达定理