【交错函数到底怎么判断收敛性】在数学分析中，交错函数（即项符号交替变化的级数）是研究收敛性的重要对象之一。常见的交错级数形式为：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots
$$
其中 $a_n > 0$ 且随 $n$ 增大而递减。这类级数的收敛性通常可以通过“莱布尼茨判别法”来判断。
一、交错级数收敛性的基本条件
要判断一个交错级数是否收敛，需满足以下两个条件：
| 条件 | 描述 |
| 1 | $a_n > 0$，即每一项都是正数 |
| 2 | $a_n$ 单调递减，即 $a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立 |
| 3 | $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ |
如果上述三个条件都满足，则该交错级数 绝对收敛 或 条件收敛，但一定 收敛。
二、判断步骤总结
1. 确认是否为交错级数
检查通项是否具有 $(-1)^{n+1}$ 或类似形式。
2. 提取正项序列 $a_n$
将原级数中的正项部分单独提取出来，形成序列 $a_n$。
3. 验证单调递减性
检查 $a_n$ 是否随着 $n$ 增大而减少。
4. 计算极限
确认 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
5. 应用莱布尼茨判别法
若以上条件均满足，则说明该交错级数 收敛。
三、常见例子与判断过程
| 级数 | 通项 $a_n$ | 是否单调递减 | 极限是否为0 | 结论 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | 是 | 是 | 收敛 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n^2}$ | $\frac{1}{n^2}$ | 是 | 是 | 收敛 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$ | $\frac{n}{n+1}$ | 否 | 不为0 | 发散 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}$ | $\frac{1}{\sqrt{n}}$ | 是 | 是 | 收敛 |
四、注意事项
- 莱布尼茨判别法只能判断 收敛性，不能判断 绝对收敛性。
- 如果 $a_n$ 不单调递减或极限不为零，即使级数是交错的，也不能保证其收敛。
- 对于非交错级数，需要使用其他方法如比值判别法、根值判别法等进行判断。
五、结语
判断交错函数的收敛性并不复杂，只要掌握莱布尼茨判别法的核心条件，并结合具体例子进行分析，就能准确判断其是否收敛。在实际应用中，还需注意区分“条件收敛”和“绝对收敛”，这对深入理解级数的性质非常重要。