【如何用泰勒公式求极限】在高等数学中，求极限是一个常见的问题。当极限表达式较为复杂时，使用泰勒公式（Taylor formula）是一种非常有效的方法。泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，便于分析其在某一点附近的性质，从而帮助我们更清晰地求出极限。
一、泰勒公式的基本概念
泰勒公式是将一个可导函数在某点附近用多项式近似表示的一种方法。设函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处有 $ n $ 阶导数，则其泰勒展开式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) $ 是余项，表示展开的误差。
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林公式（Maclaurin series）。
二、用泰勒公式求极限的步骤
1. 确定展开点：通常选择极限中变量趋近的点作为展开点。
2. 选择合适的阶数：根据极限表达式的复杂程度，选择适当的展开阶数。
3. 展开函数：将涉及的每个函数分别展开成泰勒级数。
4. 代入并化简：将所有展开后的表达式代入原极限中，并进行合并与约简。
5. 计算极限：通过化简后的多项式表达式直接求出极限值。
三、常见函数的泰勒展开式（以 $ x \to 0 $ 为例）
| 函数 | 泰勒展开式（到 $ x^5 $ 项） |
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ |
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ |
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ |
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ |
四、应用示例
例题：
求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}
$$
解法：
利用 $ \sin x $ 的泰勒展开式：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
代入极限表达式：
$$
\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1)
$$
因此，
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}
$$
五、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定展开点和展开阶数 |
| 2 | 展开各函数为泰勒多项式 |
| 3 | 代入原式并化简 |
| 4 | 计算极限值 |
使用泰勒公式求极限是一种系统且高效的方法，尤其适用于含有三角函数、指数函数或对数函数的复杂极限问题。掌握常见函数的泰勒展开式并灵活运用，能够显著提高解题效率和准确性。